厦门大学航空航天学院 王晓光，吴军，王家骏

摘要：绳牵引并联机器人采用绳索作为驱动，具有惯性小、运动空间较 大、动态性能良好等优点，成为一种新的机构。其中，欠约束绳牵引并联机器人绳数量少于自由度数，运动具有不确定性，在康复医疗、飞行器试验等方面具有一定应用潜力。其运动学分析与控制是应用中的核心技术问题，如何高效地求解运动学问题和实现高精度运动控制是研究热点。本文针对欠约束绳牵引并联机器人的发展现状，对其运动学分析与控制方法的进展进行了细致分析和总结。最后，对欠约束绳牵引并联机器人的未来研究方向进行展望。

关键词：绳牵引并联机器人；欠约束；运动学；控制

Abstract: Cable driven parallel robot (CDPR) is a special kind of parallel  robot in which traditional rigid links are replaced by actuated cables.  This has produced some advantages, such as small inertial force, motion  flexibility and so on, which have attracted the attention of researches.  The under-constrained CDPR with fewer cables and more degrees of  freedom, has the characteristics of motion uncertainties, which provide  potential application for gait rehabilitation and aircraft wind tunnel tests.  Kinematic analysis and motion control are the core technical problems in  its application, and how to solve the kinematic problems efficiently and  realize the high-precision motion control is the hot spot of its research.  This paper analyzes and summarizes the progress of kinematic analysis  and control methods for the development of under-constrained cabledriven parallel robot in detail. Finally, the future research directions of  under-constrained cable-driven parallel robot are prospected.

Key words: Cable-driven parallel robot; Under-constrained; Kinematics;  Control

1　引言

绳牵引并联机器人（Cable-Driven Parallel Robot，CDPR）是一种采用绳索代替传统刚性杆来控 制末端执行器位姿的一种新型机器人，具有结构简单、惯性小、运动空间较大、刚度较大以及动态性能良好等优点，是传统“硬式支撑”串联支撑机器人无法比拟的。在工程实践中，这种新型的并联支撑机器人非常适用于吊车、机械加工、天文望远镜等领域，已经逐渐成为国内外研究的一大热点，广泛应用于航空、工业和军事等领域。根据牵引绳索数目m和并联机器人自由度数目n之间的关系，CDPR可以分为三种类型：欠约束CDPR（m<n+1）、完全约束CDPR（m=n+1）以及冗余约束CDPR（m>n+1）[1]。截至目前，国内外已经有大量研究团队针对完全约束的CDPR开展了细致的研究并取得了一批瞩目的成果。本文主要针对欠约束CDPR，数量有限的CDPR减少了受控的自由度，降低了整个系统的复杂性以及绳间相互干扰的可能性，可应用于多种工程实践，如货物运输、医疗康复[2~3]（如图 1所示）、风洞试验[[4~5]（如图2所示），因此对欠约束CDPR的研究具有重大意义。 

图1 绳驱动康复机器人

图2 双索悬挂支撑系统示意图

欠约束CDPR由于其绳索不完全约束，即使在绳长给定不变的情况下，末端执行器依然可以运动，即动平台放开了一定的自由度。换句话说，欠约束类型的机构释放了一部分自由度。当给定动平台期望轨迹指令或者通过主动控制，如控制飞行器模型舵面等方式，可以实现动平台特定方向上的自由运动或者强迫+自由运动。这对于患者进行主动康复，或在风洞虚拟飞行试验中研究飞行器模型的气动、运动和控制之间的耦合关系等提供了支持。以风洞试验需求为例，在某些特定的情况下，需要研究飞行器模型在受迫+自由运动下的响应情况，例如模型在做俯仰振荡时的滚转和偏航角运动，从而更深层次地研究飞行器模型的气动特性，这对于掌握模型位姿之间的耦合关系和设计飞行控制律具有非常重要的意义，故这种情况下需要采用欠约束类型的支撑方式。将欠约束CDPR做上述应用时，需要重点关注欠约束系统的运动学分析和运动控制两个核心问题。

本文首先简要描述欠约束CDPR的运动特性，指出运动学求解算法和运动控制律设计这两类关键问题。其次，分别阐述欠约束CDPR系统几何学与静力学之间的耦合求解方法现状以及运动控制研究现状。最后，对欠约束绳牵引并联机器人未来的研究方向进行展望。

2　欠约束CDPR运动描述

以四绳驱动欠约束CDPR为例，如图3所示的结构示意图，其中表示支撑框架上驱动绳索的引出点， 表示绳索在动平台（以飞机模型为例）上的牵引点，动平台在四根绳索的驱动下实现运动。

图3 欠约束CDPR结构示意图

为方便建立欠约束CDPR的运动学模型，分别在框架和动平台上建立静坐标系和动坐标系，则第i根绳的绳长表达式如式（1）所示：  

式（1）中，是模型质心到静坐标系质心的坐标表示 ； 是牵引点相对于动坐标系原点的向量； 为从动坐标系到静坐标系的坐标转换的旋转变换矩阵。当系统处于静平衡状态时，满足力平衡方程如式（2）所示：

其中， 为系统的Jacobian矩阵，为绳拉力矢量，为广义外力矢量。系统动力学是描述末端执行器的运动与其受到的绳拉力和外部力之间的关系，其建模主要是为了运动控制的需要，以实现动平台的位姿变化。这里忽略绳索的质量和弹性等因素，采用Newton-Euler法，建立动平台的动力学方程，可以表示为矩阵形式： 

其中，为惯性矩阵，为动平台位姿矢量，为重力矢量，为非线性哥氏离心力矩阵。进一步考虑驱动子系统，即可得到系统完整的动力学方程组。

欠约束CDPR的运动学分析主要聚焦于其动平台位姿和绳索长度以及绳拉力之间的关系。与冗余约束系统不同的是，欠约束系统由于其牵引绳索的数目小于模型的自由度数目，导致在分析其机构运动学时存在一个难点：即使欠约束系统的各绳长长度给定，在外力作用下，末端动平台的姿态依然可以运动。即末端动平台的姿态是由绳索长度和外力大小这两个条件共同决定的。因此，欠约束系统的运动几何问题与静力平衡问题需要同时求解，与此同时，还需要保证每根绳索的拉力都是正值才可以实现有效运动。

进行运动学求解时，需要根据式（1）和动平台的静力平衡方程式（2），构建几何静力方程组，进而求解运动学正/逆解问题。该方程组中一共有m+6个方程，m为绳索数量。通过数值考虑欠约束绳CDPR位置和姿态的变化，其模型的自由度数目为6，即n=6。可以看出，耦合方程组中共包括了m+6个子方程，其中共含有2m+6个变量，这些变量由动平台位姿中的6个变量以及绳长和绳拉力的2m个变量组成。如果已知其中m个变量，通过该方程组就可以求出其他变量的有限解集。由此可以定义欠约束运动学的两种问题：已知m根绳长求解未知绳拉力与位姿变量的正几何静力问题和已知m个位姿求解未知绳拉力与绳长变量的逆几何静力问题。

3　欠约束CDPR运动学研究现状

针对上述运动学问题，近年来，意大利的Carricato 等在欠约束CDPR的正/逆几何静力学的求解上做出了 较大贡献。最初，Carricato等指出欠约束CDPR的运动学与静力学本质上是耦合的，需要同时求解。提出了一种原始的几何静态模型用来解决欠约束CDPR的正几何静力学问题，创造性地通过依靠Groebner基和 Sylvester方程混合消元的方法对三根绳牵引的并联机器人展开研究，证明了该机构的正几何静力学具有多达156个解[6]，但其求解阶数过高，过程复杂。随后，采用Dietmaier算法解决了正运动学的解中存在复数解的问题，并开发了以遗传算法和粒子群优化为基础的程序，最大化了实数解的数量，提供了56个具有实际物理意义的正几何静力学问题的实数解[7]。并进一步在原有静态几何模型的基础上，提出了一种在约束优化问题框架内评估静态稳定性的算法，该算法只依赖于线性代数方程，能应用于普遍的平面和空间体系机构，稳定性算法的通用性通过两绳、三绳和四绳CDPR的算例得到了证明[8]。此外，还分析了四根绳牵引的并联机器人的逆几何静力学问题，分析了移动平台姿态或是质心位置被确定这两种实例，分别用Sylvester方程和基于Groebner基的算法得到逆运动学问题的实数解[9]。为了得到更具有一般意义下的求解算法，他们研究了n（n≤6）根绳牵引的并联机器人正几何静力学问题，该问题由一组代数方程建模，找到相应的理想中最小阶数的单变量多项式，这个多项式一方面为寻找正几何静力学复数解的解决方案设置了一个确切的界限，另一方面提供了一个基准来验证Groebner基和Sylvester方程混合消元法的有效性。首次为欠约束CDPR正几何静态优化设计问题开发了DGP-solver软件包，该软件包的显著特点是只要以机构的几何尺寸、绳索长度、外力大小为输入，便能找到所有正几何静态问题的解，包括其中某些绳索松弛的情况[10]，但该算法没有包含绳拉力约束等条件，需要进一步后处理，才能确定解的有效性。Berti等[1] 提出基于区间分析的方法，求解欠约束CDPR正几何静力学问题，区间分析法保证了这些解可以对数值错误进行纠错，即结合欠约束CDPR的实际物理意义给出特定的约束条件，例如绳索张力值只能为正。为了同时考虑绳拉力的约束，文献[11~12]采用神经网络等方法将其转化为优化问题，进行运动学求解。

而国内研究欠约束绳牵引并联机构的内容目前还相对较少。针对欠约束CDPR的工作空间问题，桑建等针对一种由六根绳索牵引的欠约束并联机构，提出了一种维数缩减法进行计算，并利用MATLAB进行仿真，根据工作空间评价指标得到机构参数的最佳组合和机构的最大工作空间[14]。刘欣等则针对不同约束条件下的CDPR，提出了一种可以用于三种不同情况下的求解其工作空间的算法[15]。郑亚青和江晓玲指出欠约束CDPR属于微分平坦化系统，即系统的内部变量和驱动系统的输入量都可以通过经过平坦化输出的绳向量和其低阶导数以代数的形式进行表示，并通过3-3（3 绳牵引，3自由度）CDPR实例仿真给出证明，同时寻找其平坦输出[16]。郑亚青和江晓玲进行了更为细致的研究，考虑到绳索自身重力作用，采用悬链线方程对四根绳牵引的6自由度欠约束并联机器人进行运动学和静力学分析后得出该机构的静刚度矩阵，通过最小二乘支持矢量机回归的方法求出该并联机器人在平动方向上的静刚度变化，并通过该方法优化系统的机械结 构，从而提高该系统的静刚度[17]。通过结合其他算法的优势，赵志刚等通过将最小二乘法和蒙特卡罗算法结合，提出一种综合算法，对多机器人的欠约束系统进行静平衡工作空间的求解[18]。

由上述可知，截止目前，国内外学者们主要针对于欠约束CDPR正/逆运动学的求解以及工作空间的计算问 题，进行算法上的改进与提高。但目前提出的算法还都较为复杂或没有考虑约束条件的影响，因此，结合其他 算法思想，研究一种智能高效的求解算法解决运动学问题是非常有必要的。

4　欠约束CDPR运动控制研究现状

CDPR的控制技术是确保机器人系统能够稳定工作的核心技术之一，采用柔性绳取代刚性杆作为并联机 器人的驱动关节，使得CDPR相比于传统的刚性并联机器人在运动控制方面具有了更多可研究的问题和更大 的挑战。

目前针对CDPR轨迹跟踪控制的研究已经较为成熟，国内外学者针对其运动控制方法展开了深入的研 究。整体而言，CDPR的控制策略可以分为两类，即基于绳长或编码器的连接空间或驱动空间的控制，以及基 于末端执行器位姿测量的任务空间的控制，分别属于半闭环控制与全闭环控制，如图4、图5所示。

图4 半闭环控制系统

图5 全闭环控制系统

已有文献大多是针对冗余约束CDPR的研究。国外，Alireza等针对动态不确定性的CDPR提出了一种鲁棒自适应控制器，设计了使用傅里叶级数展开的基于函数逼近技术的自适应控制律，可以自适应地学习机器人和执行器动力学中的不确定项，采用李雅普诺夫理论证明系统的稳定性，并通过在平面绳驱动并联机器人上的仿真证明该控制方法的准确性[19]。Joao等针对低速工作的大尺寸绳索驱动并联机器人设计了一种模型预测控制策略，并将其与两种常用的滑模控制和PID+控制方法的性能进行比较，仿真表明该控制策略具有更高的外部干扰抑制性能[20]。Meysar等针对 CDPR提出了一种高性能鲁棒控制器，其将滑模控制、PID控制和自适应控制方法结合在一起，在模型不确定性存在的情况下，对CDPR进行轨迹跟踪控制，并通过仿真和实验证明该方法可以很好地抑制不确定性对运动控制的影响[21]。Alireza等为减小不确定性对具有三自由度平移运动的大型绳驱动机器人的影响，提出一种双积分滑模控制策略来减小稳态误差，并通过数值仿真模拟证明控制方法的有效性[22]。Hassan等提出了一种基于视觉的平面绳驱动并联机器人的位置控制的实现方法，在控制过程中基于视觉反馈来跟踪末端执行器的位置，为提高控制性能，选取自适应滑模控制器，自适应规则通过递归最小二乘法精确辨识模型，并通过实验测试验证了该方法的可行性[23]。Christian等针对滑模控制常见的抖振问题，提出了一种鲁棒自适应滑模控制方法，该方法结合了基于增益自适应律 的Super Twisting控制器，通过前馈动态反转来减少不连续控制，从而提高了性能，进一步减少抖振[24]。国内，仇原鹰等针对绳牵引摄像机器人高速运动情况下的稳定问题，设计了一种基于末端执行器位置空间的PD前馈控制律，并采用李雅普诺夫第二法证明了该控制器的稳定性，但最后仅进行了数值仿真，并未进行实验验证[25]。唐晓强、王明义等基于绳拉力优化后的结果，提出了一种力/位混合控制策略，对火箭推力的输出和低重力下月球车的发射和着陆过程进行模拟[26~27]。郑亚青等人针对绳牵引并联机构在风洞试验中的应用，设计了一种基于绳长空间的控制器来控制飞行器模型的位姿，并采用李雅普诺夫第二法证明了该控制器是稳定的[28]。尚伟伟针对动态运动过程中各绳索之间的同步运动问题，在绳长空间基于末端执行器的跟踪误差与同步误差设计了一种复合控制器，以实现各支路间运动的同步，从而减小末端执行器的轨迹跟踪误差，并通过在三自由度CDPR上的实验验证了该控制方法的可行性[29]。林麒、王晓光等针对应用在风洞试验中的八绳牵引6自由度并联支撑系统提出了基于RBF神经网络补偿的自适应控制器和考虑绳弹性变形的自适应滑模控制器，采用李雅普诺夫第二法证明了所提出控制器是稳定的，并通过仿真结果说明了控制方法的准确性[30~31]。吴洪涛等针对具有几种不确定条件下的绳驱动机械臂的控制问题，提出并研究了一种基于时间延迟估计的连续分数阶非奇异终端滑模控制器，时间延迟估计通过特定的时间延迟信号适当抵消未知动力学，分数阶滑模控制器确保能够有限时间收敛，同时保证了高精度，最后通过两自由度的仿真和实验证明了所提出方案的有效性[32]。

而对欠约束CDPR运动控制的研究内容还相对较少，其主要原因是针对欠约束并联机构的强迫+自由运动，控制欠约束CDPR的绳索数目少于末端执行器的自由度数目，导致了在欠约束机构上采用通过驱动电机改变绳长来控制模型位姿的方法存在较大的挑战。Yamamoto等对比了冗余约束和欠约束绳牵引并联机构，提出了基本的动力学方程，讨论了欠约束绳牵引 并联机构的性质，利用基本方程，提出了一种基于逆动力学精确线性化的欠约束绳牵引并联机构的反馈控制方法，通过数值仿真和实验验证了所提出方法的有效性 [33]。Heyden等针对典型的绳牵引并联CABLEV机构，提出了平面系统的概念，根据末端动平台的期望轨迹及其关于时间的导数，通过代数的方法计算需要的控制力，得出前馈控制项，再通过准静态状态反馈法对系统的非线性动力学进行线性化，实现了该系统渐进稳定的轨迹跟踪行为[34]。Sung等针对欠约束绳牵引机构由于约束不完全导致的末端容易摆动的问题，提出了一种基于零振动的输入整形方案，对控制输入进行整形，从而减少了不必要振荡的轨迹，并通过仿真和实验证明了该方法的有效性[35]。Barbazza针对绳索牵引的平面欠约束宏-微机器人，选用一种差分平滑方法实现系统的点到点的轨迹控制；并提出一个多目标优化框架，通过设计参数实现最小化的系统运动时间和控制力，通过这个框架能够很快推断出参数设计对系统动态性能的影响[36]。

由上述可以看出，虽然文献[33~36]针对欠约束机构的运动控制展开了研究，但其应用一般都在运输类行业，旨在实现简单的运动轨迹，而且运动过程中所受到的干扰较小。因此，针对某些复杂应用，如作为风洞试验的欠约束绳牵引并联支撑系统，无论是进行自由运动，还是进行受迫+自由运动，设计合适的运动控制器对于后续的理论分析与试验验证均具有十分重要的意义。

5　研究展望

基于欠约束CDPR技术在实际中的应用，以及运动学分析与控制研究现状，其发展趋势可归纳为两个方面：

（1）可重构。为进一步改善机构的灵活性、增大有效工作空间，可采用可重构绳牵引并联机器人。可重构性可以体现在多个方面，例如绳与滑轮连接点的位置可变、应用过程中绳索使用的数量可变、绳索导 向机构位置可变，以及移动平台形状可多样化等，极大地扩展了CDPR的组成与内涵，同时也增强了其功能。此外，实际应用中对CDPR具备可重构性的需求也越来越迫切。以CDPR在风洞试验中的应用为例，其作为一种新型支撑方式可以满足静态、动态风洞试验的需求，但对飞行器模型的大迎角机动，大幅值振荡等而言，需要相应改变滑轮连接点的位置，在满足刚度情况下以获取更大工作空间，同时避免干涉情况。再者，在医疗康复领域或机械加工行业，往往需要机构本身具有一定的自适应性，根据任务要求，实现方便、准确自调整的目的。

（2）智能化。为进一步提高运行效率和精度，CDPR智能化将是发展的一个重要方向。主要基于系统动力学机理与稳定性研究，结合计算机视觉测量技术，如采用三维图像信息处理与运动估计，提高动平台的位姿测量精度与实时性；采用先进理论算法与智能控制方法，合理规划末端执行器的运动轨迹，实现动平台的自适应鲁棒控制。

作者简介：

王晓光（1984-），河南漯河人，副教授，硕士生导师，现任教于厦门大学航空航天学院飞行器系，研究方向是绳系并联机器人技术及其应用。

吴　军（1995-），安徽池州人，硕士，现就读于厦门大学航空航天学院飞行器系，研究方向是绳系并联机器人控制技术。

王家骏（1994-），福建泉州人，硕士，现就读于厦门大学航空航天学院飞行器系，研究方向是绳系并联机器人控制技术。

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摘自《自动化博览》2021年6月刊