历史上天才的世界里，数学与艺术领域的跨界人物频出，如提出“万物皆数”的毕达哥拉斯，把造型艺术与几何学相连的阿尔贝蒂、达·芬奇和丢勒，“音乐家中的数学家”巴赫，“数学王子”高斯……笔者刚出版的《数学与艺术》一书，正是沿历史轨迹，探究数学与艺术的关系的作品。

公元前11世纪，周公在洛水北岸建造了洛阳，后来成为东周国都。与周公同时代的大夫商高是西周初年的数学家，他率先指出了第一组勾股数：“勾广三，股修四，径隅五。”这是勾股定理的特例，后者是中国数学家的独立发现，比古希腊的毕达哥拉斯定理要早。据中国最早的数学典籍之一《周髀算经》记载，一次周公在镐京问商高：“听说大夫擅长数学。天没有台阶可攀登，地又不能用尺寸测量，请问数是怎样得来的？”商高回答：“数是根据圆和方的道理得来的，圆从方来，方又从矩来，矩是依据乘法表来的。”周公曰：“大哉言数！”

而在美国纽约哥伦比亚大学，编号普林顿322号的泥板书则显示，巴比伦人在此之前已经知道了勾股数组，其中最小的一组为（45、60、75），恰好是商高给出的那组数的15倍。上述例子或许可以说明，勾股数（毕达哥拉斯数组）可能是人类最早发现的自然数奥妙之一。同样，数学可能是自然科学中最早出现的两门学科之一，另一门是天文学。在古代，天文学家与数学家每每合二为一，正如戏剧家与诗人常常是同一个人。

数学诞生于游牧时代，那时人们的主要财产是牲畜。为了计算它们的只数，人们便学会了计数，继而学会了加法和减法。而在艺术史上，最古老的创作形式可能要数岩画。

1879年和1940年，一对西班牙父女和四位法国儿童先后发现了15000年前的史前岩画，分别是在西班牙北部的阿尔塔米拉岩洞和法国南方的拉斯科岩洞里。岩洞墙壁上刻画有许多野牛、长毛象和驯鹿等动物，它们是冰河时代人类用石头或骨头工具完成的。而在我国大西北，宁夏回族自治区中卫市的黄河北岸，方圆400多平方千米的大麦地岩洞里，也有一万多幅史前岩画，大多属于旧石器晚期到新石器时代。

学者们猜测，那些原始狩猎者认为，只要他们画了狩猎图，用长矛或石斧痛打一番，真正的野兽便会束手就擒。显而易见，数学和艺术都源于人类生存的需要。那么它们在历史的长河里是如何发展、相遇而又碰撞的呢？这是本书想要探讨的。

正如代数与时间艺术——音乐有着较为密切的关系，空间艺术——绘画也与几何相互作用。不同时期的绘画与几何之间，又存在着不一样的相互关系。例如，文艺复兴艺术与欧氏几何、毕加索的立体主义与非欧几何、后现代主义艺术与分形几何。

20世纪美国数学史家克莱因认为，“文艺复兴是数学精神的复兴”。文艺复兴时期的意大利画家达·芬奇也承认，“只有紧紧地依靠数学，才能穿透那琢磨不透的思想迷魂阵”。也正因为文艺复兴打通了数学与艺术的界限，才使得接下来的17世纪成为“天才的世纪”，且有多位横跨文理的巨人。以至于英国哲学家怀特海在列举了诸多伟大发现之后感叹道，“这个世纪可以说是时间不够，没法把天才人物的重大事件摆布开来”。

相比之下，音乐与数学的关系更为隐秘，但历史却更悠久，肇始于毕达哥拉斯。有一天他走过一家铁匠铺，听到叮叮当当的声音，经过研究，他发现了音程之间与数的关系，提出了“万物皆数”的哲学论断。而在18和19世纪，德国中部哈茨山南北两侧，两座对称的小城相继诞生了“音乐之父”巴赫和“数学王子”高斯。前者被誉为“音乐家中的数学家”，后者的数学发现有着天籁般的音乐之美。而与巴赫同代的瑞士数学家欧拉则撰写了《音乐新理论的尝试》，提出了音网概念，如今仍应用于和声学研究。

高斯是非欧几何学三位发现者之一，另一位发现者、匈牙利数学家鲍耶生前籍籍无名，却有一句话流传后世：从虚无中，我开创了一个新的世界。非欧几何学大大拓展了数学研究领域，它与欧氏几何的最大区别在于公理体系中大胆采用了不同的平行公设。在黎曼几何中，球面上的直线是大圆（圆心在球心），两点间最短距离是过这两点的大圆上的弧。例如，从上海飞纽约的最短航线不是经过太平洋，而是经过北冰洋。爱因斯坦的广义相对论原理也在于此，引力源于时空弯曲，光沿着弯曲的弧线传播。

鲍耶去世前四年，奥地利医生弗洛伊德出生了，他后来创立了精神分析学，对现代主义艺术进行细致的剖析。《癔病研究》是作家们所谓自动写作法的延伸，而《梦的解析》是一部划时代意义的巨著，书中分析了梦的基本活动，认为梦是以扭曲的形式体验到的被禁止的欲望，所有的玩笑都有认真的成分。弗洛伊德还给出了力比多和本我、自我、超我等概念，为潜意识学说奠定了基础，堪称人类认识自身的里程碑。

进入20世纪以来，抽象化成为数学和艺术的共性，以它们的两个分支——拓扑学和抽象代数、超现实主义和表现主义为例，说明共性和个性的存在。拓扑学有着华丽的几何外表，而抽象代数充斥着理性符号。在同时代的诸多现代主义艺术流派中，也有两个风格特征颇为相似，那便是载歌载舞的超现实主义和含蓄内敛的表现主义。有趣的是，弗洛伊德遗产的继承人、法国哲学家拉康不仅用语言学重新阐释弗氏学说，还把拓扑学和集合论作为精神分析学优先研究的外部对象。

说到数学和艺术的关系这个主题，许多科学家和艺术家都做过不同程度的探讨。他们更关注数学和艺术的外在形式，比如对称之美（也有的在方法论上做过探究）。而对于从数学和艺术的发展历程来揭示它们之间的相似性和本质属性，似乎还没有人做系统的阐释。本书是这方面的一次尝试。幸运的是，本人在数学和艺术两方面都做了长时间的实践和探索，有着第一手的经验和认识，加以适当的提炼和总结，便写成了这本小书，期待各方读者的批评指正。

来源：《中国科学报》